プロスペクト理論

期待効用「仮説」の限界

期待値よりも価格が高い宝くじを買う理由について、先ほどは期待効用仮説による説明を行ないました。
しかしこの期待効用仮説、その名の通りあくまでも「仮説」に過ぎず、現実で本当のところ成り立っているかは分かりません。
そこでフランスの経済学者モーリス・アレは、次のような有名な実験を行いました。

アレのパラドックス

次の２つのくじがあったとしたら、貴方はどちらのくじを選びますか？　それぞれのパターンについてお答え下さい。

【パターンＡ】
くじ1：必ず1万円手に入る。
くじ2：10％の確率で5万円、89％の確率で1万円手に入り、1％の確率で何も手に入らない。

【パターンＢ】
くじ3：11％の確率で1万円、89％の確率で何も手に入らない。
くじ4：10％の確率で5万円、90％の確率で何も手に入らない。


どうですかね。

私はパターンＡのときはくじ2、パターンＢのときはくじ4を選択しましたが、
アレの実験では、「パターンＡではくじ1を選んで、かつパターンＢではくじ4を選ぶ」という行動を選択した人が多かったようです。


でもちょっと待ってください。
パターンＡでくじ1を選んだってことは、期待効用仮説に基づくなら「くじ1の期待効用＞くじ2の期待効用」ってことですよね。

それぞれの期待効用をEU1、EU2とすると、EU1＞EU2。計算すると、



となります。

そしてパターンＢでくじ4を選んだってことは、同様に考えると、




んん？これっておかしくないですか？　だって、



この相反する二式が同時に成り立つことになってしまうじゃないですか！

つまり「パターンＡではくじ1を選んで、かつパターンＢではくじ4を選ぶ」ような行動は、期待効用仮説で考えると矛盾してしまうんですよ。

この矛盾を「アレ？」と思うことからではなく実験を行ったモーリス・アレの名前から、「アレのパラドックス」と呼ばれています。

既存理論の修正必要性

もし実験に参加した人が全員期待効用仮説に従って行動するならば、このような矛盾は生じないはずです。

つまり期待効用仮説は、必ずしも現実で成り立っていない（というか現実を説明できない）ことになります。

もちろん実験に参加した人がアレと結託していないことも重要ですが、「くじ1・くじ4」を選ぶ人が現実にいる以上、期待効用仮説では説明しきれないんです。


くどいようですが経済学は現実を説明するためのツールですから、現在の理論で説明できないことに対しては、説明ができるように理論の修正をする必要があります。（もちろん厳密性を損なわない程度に。） 期待値で説明できないことに対して期待効用を導入したのもそうでしたよね。

今回の場合は期待効用仮説を修正する必要があり、その候補としてプロスペクト理論というものがあります。これによって矛盾を説明することができるんです。 ではそのプロスペクト理論とは一体何なのか、以下から説明しましょう。

価値関数

期待効用仮説では「効用関数」が出てきますが、プロスペクト理論ではそれに代わるものとして「価値関数」が登場します。
プロスペクト理論を説明する前に、まずはそれについて述べる必要があります。


効用関数とは何だったかというと、「x:ある財・サービスの消費量や保有量」と「u:それから得られる満足度の水準」の間のu=U(x)という関係でした。

このとき、消費量や保有量が1つの数字で与えられれば、それに対応する効用も一意に決まります。

しかし、次のような場合を考えてみてください。


Ａ：親戚のおじさんから「今度のお年玉は2万円あげるね」と言われて期待して行ったら、1万円だった。
Ｂ：今までまったくお年玉をもらったことのない親戚のおじさんから、なんと1万円のお年玉をもらった。


これ、結局1万円もらったのは同じことなのに、得られた満足度はＢの方が上になりませんか？

Ａの場合は2万円を「期待」して裏切られた。Ｂの場合はもともと「期待」してなかったおじさんからもらった。

どうやらこの「期待」の差が、同じ1万円でも満足度に違いをもたらしているようです。


もしも感情のないロボットだったら「期待」も何もしませんから、Ａ・Ｂどちらでも満足度は一緒でしょう。

しかし現実の人間はどうしても「期待」してしまいます。

おなじ額でも「期待していた額」によって得られる満足度が異なるのだとしたら、効用の一意性は成り立たなくなり、効用関数も成り立たないものになります。 そこで効用関数に代わる「価値関数」が登場します。


価値関数とは、さっきのお年玉のように、「x:『ある基準点』から見た変化幅」と、「v:その変化幅の価値」を対応づけた関数v=V(x)のことです。

お年玉の例だと、xはＡだとマイナス1万、Ｂだとプラス1万になります。vはＡだとV(-1万)＜０、ＢだとV(1万)＞０となります。これを平面上で図示すると、



多くの人はこんなＳ字型の感じだとされています。

|x|=|-x|でも|V(x)|＜|V(-x)|となるのがポイントで、上のお年玉だと「1万円だけ期待を裏切られたガッカリ感」が「予想外の1万円を得たうれしさ」を絶対値で上回ってることを示しています。

これは何となく分かりますよね。 利得よりも損失に大きなウェートを置く性質を「損失回避性」と言います。 また、変化幅が増えるに対して、価値の増加・減少の度合いは逓減していきます。

これは限界効用逓減と似たようなもので、あまりに変化幅が大きくなると感覚が麻痺してきて、「もういくら増えても（減っても）もうどうでも良いよ」ってことですね。

以上、これで効用関数より現実に即したモノを作ることができました。

確率加重関数

そしてプロスペクト理論には「価値関数」の他に、「確率加重関数」というのが登場します。

確率加重関数とは、わかりやすく言えば「人々は『ある確率』を、そのまま額面通り受け取る訳じゃない」ということ。


例えば「今日あなたが死ぬ確率は20％です」と言われたら、「ﾊｧ！？俺20％の確率で死ぬの！？それかなり危なくね？ｗｗ」と、例え20％でも「20％とは思えないほど」超ビビりませんか？

また「80％の確率で東大に受かる」って言われても、「でも本人の俺は実際不安だらけだし、、、逆に言えば20％で落ちるんでしょ？ 80％とか全然浮かれる数字じゃないし。。。」、と。

このように、人は起こりうる事の重大さだとか、その他色んなことにとらわれて、確率を正しく評価しない（できない）のです。


したがって確率pはそのままpとして考えるのではなく、ある程度バイアスがかかったような関数w(p)みたいな感じで表現すべき、ということになります。



多くの人は「低い確率ほど過大評価」し、「高い確率は過小評価」する傾向があることが実験的に示されているそうです。また一致するのが0.35付近らしいので、こんな感じのグラフになります。

競馬で大穴に賭ける人が多いことや、身近な病気よりも交通事故を気にしたりだとか、そういうことからも納得できますね。


また、この確率加重関数の特徴として「劣加法性」というものがあります。

ここでの劣加法性とは、w(p)+w(1-p)＜w(p+1-p)=w(1)=1という性質のことです。
この性質により、さきほどのアレのパラドックスを説明することが出来ます。

プロスペクト理論によるアレのパラドックスの説明

さきほどの質問内容をおさらいしましょう。

【パターンＡ】
くじ1：必ず1万円手に入る。
くじ2：10％の確率で5万円、89％の確率で1万円手に入り、1％の確率で何も手に入らない。

【パターンＢ】
くじ3：11％の確率で1万円、89％の確率で何も手に入らない。
くじ4：10％の確率で5万円、90％の確率で何も手に入らない。

実験結果では、くじ1とくじ4を選ぶ人が多かったですね。

期待効用仮説は、効用関数と確率の加重平均でしたが、プロスペクト理論は価値関数と確率加重関数の加重平均を考えます。

くじ2よりもくじ1を選んだと言うことは、プロスペクト理論に従えば、



また、くじ3よりもくじ4を選んだということは、



これらをまとめると、以下の式が出てきます。



これは劣加法性により成り立ってますよね。つまり「くじ1・くじ4を選ぶことは矛盾していない」ことになります。



以上、期待効用仮説では説明しきれないことについて、プロスペクト理論で矛盾のない説明を行うことができました。

宝くじを買う理由だって、プロスペクト理論で説明することも可能かと思います。